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数学与文化——是与非的观念

数学一直是形成现代文化的主要力量,同时又是这种文化极其重要的因素,这种观点在许多人看来是难以置信的,或者充其量来说也只是一种夸张的说法。这种怀疑态度完全可以理解,它是一种普遍存在的对数学实质的错误概念所带来的结果。
  由于受学校教育的影响,一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师,或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。当有人对这种状况提出异议时,某些饱学之士可以得到权威们的支持。圣? 奥古斯丁(St.Augustine)不是说过吗:“好的基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已经存在,数学家们已经与魔鬼签定了协约,要使精神进入黑暗,把人投入地狱”。古罗马法官则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”应禁止他们“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问。”叔本华(Schopenhauer),一位在现代哲学史上占有重要地位的哲学家,也把算术说成是最低级的精神活动,他之所以持这种态度,是基于算术能通过机器来运算这一事实。
  由于学校数学教学的影响,这些权威性的论断和流行的看法,竟被认为是正确的!但是一般人忽视数学的观点仍然是错误的。数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的方标题是本文译者加的,副标题为原标题面:它们远不能代表数学,就如同调配颜色远不能当作绘画一样。
  技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解,就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。
因此,让我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。首先,数学主要是一种寻求众所周知的公理法思想的方法。这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义,以及准确地表述出作为推理基础的公设。具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公设出发,推导出结论。数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时,以某种不同的方式表述过:“数学家们像恋人。……承认一位数学家的最初的原理,那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论,从这一结论又推导出其他的结论。”
  仅仅把数学看作一种探求的方法,就如同把达? 芬奇“最后的晚餐”看作是画布上颜料的组合一样。数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的内容时,和构思证明的方法时一样,数学家们利用高度的直觉和想象。例如,牛顿和开普勒就是极富于想象力的人,这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统,而且建立了新的、革命性的概念。在数学中,人的创造能力运用的范围,只有通过检验这些创造本身才能决定。有些创造性成果将在后面讨论,但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。
  如果数学的确是一种创造性活动,那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?研究数学最明显的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计,以及许多其他的人类需要,数学能对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程时代,数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。数学的另外一个基本作用(的确,这一点在现代特别突出),那就是提供自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论是物理学的基础。这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命,使其成了有联系的有机体,并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。     
  智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣,激励许多数学家研究数的性质和几何图形,并且取得了富有创造性的成果。今天很受重视的概率论,就开始于牌赌中的一个问题——一场赌博在结束之前就被迫中止了,那么赌注如何分配才合理?另外一个与社会需要或科学没有什么联系的最突出的成就,就是由古代希腊人创造出来的,他们把数学转变成了抽象的、演绎的和公理化的思想系统。事实上,数学学科中一些最伟大的成就——射影几何、数论、超穷数理论和非欧几何,这里我只提到我们将要讨论的内容——都是为了解决纯智力的挑战。

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