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莱布尼茨数学思想的统一性

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646~1716)对数学有两项突出贡献:发明了符号逻辑和微积分。由于这两项成就分属不同的数学分支,人们也往往将其看作莱布尼茨的两种不同工作,忽视了它们之间的一致性,这为研究莱布尼茨的数学思想、完整地理解数学史和科学发现的规律带来不少困难。本文的目的就是试图理解的揭示这种一致性。
  一、符号逻辑: “通用数学语言”
莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言,它通过字母和符号进行逻辑分析与综合,把一般逻辑推理的规则改变为演算规则,以便更精确更敏捷地进行推理。([1],p.8)或者说,“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统,利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。在《论组合术》中,二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法,在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时,这会成为一种通用语言或文字,但与那些迄今为止设想出来的全然不同;因为它里面的符号甚至词汇要指导推理;错误,除去那些事实上的错误,只会是计算上的错误。形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的,但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。”([2],p.123)在1679年9月8日给惠更斯的信中他又写道,有一个“完全不同于代数的新符号语言,它对于精确而自然地在脑子里再现(不用图形)依赖于想象的一切有很大的好处。……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理,这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来,因而不得不作出无穷多个无用的试验;另一方面,这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。”([3],p.151~152)
综合莱布尼茨零零碎碎的设想,他的宏伟规划大体旨在创造两种工具:其一是通用语言,其二是推理演算(calaulusratiocinator)。前者的主要使命是消除现存语言的局限性和不规则性,使新语言变成世界上人人会用的具有简明符号、合理规则的语言,规定符号的演变规则与运算规则,使逻辑演变依照一条明确的道路进行下去,进而解决所有可用语言表达的问题。
为此,莱布尼茨做了两方面的努力:一是寻找能够代表所有概念并可认作最根本的不可分析的符号;二是给出表述诸如断定、合取、析取、否定、全称、特殊、条件联结等形式概念的设计。关于第一方面,莱布尼茨首次设想用数目代表原初概念,而逻辑演算则用如同算术中的乘或除来代替。他认为用这种数字的不同方式排列组合,进行各种运算,就可产生无穷多的复合概念。这一思想后来改进为以素数代表基本概念,而复合词项即可借分解相应的数字成为它们的素数因子来加以分析。以“人是理智动物”为例,用素数“3”代表“动物”、“5”代表“理智”,则“人”即以“15=3.5”代表。为了更好地构设“通用语言”,莱布尼茨又以设想的“人类概念字母表”为语言词汇基础创制了一些逻辑符号,如“∪”(并)、“∩”(交)等,一直沿用下来。
关于第二方面,莱布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三个年代为标志划分为三个阶段。([4],pp.271~273)
第一阶段,莱布尼茨改进从数字代替概念以其演算,代之以对普通命题经验分析为基础的代数逻辑。他以全称肯定命题“a是b”的形式开始,提出五条基本演算规则:(1)ab是ba(交换律);(2)a是aa(重言律);(3)a是a(同一原则);(4)ab是a或ab是b(化简原则);(5)如a是b且b是c,则a是c(传递原则)。以此为据,他证明了同一和包含两个逻辑系词之间的重要关系,即,如a是b且b是a,则a与b是同一的。进而,他又提出四个定理:(1)如a是b且a是c,则a是bc;(2)如a是bc,则a是b且a是c;(3)如a是b,则ac是bc;(4)如a是b且c是d,则ac是bd。由此可见,莱布尼茨在第一阶段的逻辑演算已相当完善和科学化,为逻辑的系统化打下了坚实的基础。
第二阶段,莱布尼茨用等式符号作系词符号,借公式A=BY表述全称肯定命题(Y为一未确定的系数,用以修饰B而使B成为A的一部分),同时提出双重否定之为肯定,即“非非A=A”,并由此演释出一系列定理。为了进一步发展演算,莱布尼茨还试图通过与属性组合的关系,用代数方法来描述四个直言命题,甚至对四个直言命题的表示法提出了九个方案。
第三个阶段,莱布尼茨最有价值的工作是罗列了十四个基本命题:(1)A=A+A“+”表示逻辑相乘,下同);(2)如A=B且B=C,则A=C;(3)如A=B且B≠C,则A≠C;(4)如A=B,且B<C,则A<C;(5)如A=B且C<B,则C<A;(6)如A=B且C=D;则A+C=B+D;(7)如A=B,则A+C=B+C;(8)A<B,则A+C<B+C;(9)如A+B=A,则B<A;(10)如B<A,则A+B=A;(11)如A<B且B<C,则A<C;(12)如A<B且B<A,则A=B;(13)如A<C且B<C,则A+B<C;(14)如A<B且C<D,则A+C<B+D。为适应逻辑相除,他又引进逻辑相减运算,定义为:如B包含在A中且C包括除去内容B之外的整个A的内容,则A-B=C。如前例“人=动物+理智”即可推为“人-理智=动物”。
上述符号构设显示,莱布尼茨的中心思想是致力于以符号表示普遍概念的“通用语言”和以代换法进行数学演算他自称的“通用数学”。就今天的眼光看来,他实际上已经发现了符号逻辑的若干重要原则和定理,触及到后由哈米尔顿所阐发的谓项量化问题,认识到在直言与假言命题之间的基本类比(即原因包含它的结果正如主项包含它的谓项),并且把握了逻辑相加的问题,甚至讨论过非三段论的关系推理。因此,莱布尼茨实际上已探察到后来为布尔和施罗德所发展的逻辑代数的整个基础。数理逻辑学家有没有看过莱氏的著作,知道不知道莱氏的计划,但所作的研究大体上都是沿着莱氏所期望的方向进行的。”([5],p.10)所以,整个数学界都一致公认他是数理逻辑的首创者和真正奠基人。
莱布尼茨的符号数学研究在生前没有公布,结果使数理逻辑的发展延迟了一个半世纪。([4],p.119)可他关于微积分的成果却由于较早发表而惠泽数学界并引发一场争论持久的历史公案。
  二、微积分: “理性的代数学”
1684年莱布尼茨在莱比锡的《教师学报》(Acta Eruditorum)上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法,也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》(简称《新方法》)的文章。这是他关于微分计算要点的代表作,全文只有六页。1686年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章,实际可看作《新方法》的续篇。
莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。当这两无限减小时,曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时,矩形上面的那个三角形可以忽略不计,此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。
早在1666年,莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。([6],pp.216~217)在帕斯卡三角形中,任意一个元素既等于其上一行左边各项之和,又等于其下一行相邻两项之差;而在调合三角形中,任一元素均是其下一行右边各项之和,也是紧靠其上两项之差。


算术三角形  调合三角形
莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差和微分:
自然数   0, 1, 2, 3, 4, 5, … y
一阶差   1, 1, 1, 1, 1, 1, … dy
二阶差   0, 0, 0, 0, 0, …
自然数平方 0, 1, 4, 9, 16,…    y
一阶差   1, 3, 5, 7, …       dy
二阶差   1, 2, 2, 2, …       d(dy)
三阶差   1, 0, 0, …

他把这些与微积分联系起来:一阶差相当于dy,它们的和等于y,如1+3+5+7=16。莱布尼茨认为,这种和与差之间的互逆性,与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值,而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算时,已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。([10],p.392)由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点,而不是几何出发点。(如[7],p.101)
为解决求积问题,莱布尼茨把流动纵坐标是y的平面曲线下的曲边梯形的面积用符号y表示。这样,曲线的纵坐标就与面积变量明显地联系起来。过了几年,他便用“sydx”表示面积,“∫”是“Sum(和)”的第一个字母“S”的拉长。
在求量的差即微分方面,莱布尼茨先是引进了符号“x/d”表示x的微分,意思是求“差”要关系到量的同次的降低,并且他还认为,如果同时出现不同阶的微分,则只留下最低阶的,而把所有高阶的微分舍去。至于这样做的理由,莱布尼茨虽提供了多种解释,但都不充分,其实毋宁说他是当作“公理”来使用的。后来,他将“x/d”改为“dx”,一直沿用至今。
从上述思路出发,莱布尼茨给出了微积分的基本公式:
d(x±y)=dx±dy                (1)
d(xy)=xdy+ydx               (2)
d(x/y)=ydx-xdy/y[2]         (3)
对于(2),他的推导是,令x、y分别成为x+dx、y+dy,则
(x+dx)(y+dy)=xdy+ydx+dxdy+xy于是 d(xy)=(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy
dxdy是比xdy+ydx高一阶的无限小量,可以舍去,所以 d(xy)=xdy+ydx
用同样的方法也可推导出公式(1)和(3)。
有了微分法的基本运算律,对整指数的幂函数x[n]就有dx[n]=nx[n-1]。又由于求和是求差的逆运算,所以还有∫x[n]dx=1/n+1x[n+1] (n≠-1)。这两个公式虽只对n是正整数情况而言,但莱布尼茨却断然宣布它们当n取其它数值时仍然成立。接着,莱布尼茨陆续地推导出指数和对数等超越函数的微分公式。
莱布尼茨的微积分算法是在解决几何和物理问题的过程中建立和完善起来的。他边建立新算法,边用这种算法解决当时物理学与几何学提出的疑难问题,有时还用老方法来解决问题以检验新方法的正确性。除了切线问题、极值问题、曲率问题、求积问题等几何问题,他还曾用新方法证明了光的折射定律。所有这些都显示了新算法比传统方法更加优越。
除了以上成果,莱布尼茨在微积分方面的具体研究还有:(1)复合函数的微分法则;(2)弧微分法则ds=根号下dx[,2]+dy[,2];(3)对数函数和指数函数的微分法则;(4)在积分号下对参变量求微分的方法;(5)曲线绕x轴旋转所成的旋转体体积公式V=π∫y[2]dx;(6)求切线、求最大值最小值以及求拐点的方法;(7)讨论曲率,密切圆和包络理论。([8],pp.394~395)
莱布尼茨微积分研究的背景与当时整个西欧的数学家们是一致的,他的工作基础也是建立在对无穷小的分析上。因此,此后很长一段时间,人们一直把微积分叫无穷小分析。由于莱布尼茨从有限差值开始无穷小的运算,因而他最初曾试图将实无穷小代之以与其成比例的有限数量,即不用dx、dy本身,而用它们的比值dy/dx。他以为把dx、dy看成有限量,问题就解决了。但是,比值dy/dx的获得同样需要说清dx、dy两个量本身的实际情况,而不能有半点含糊。于是,莱布尼茨提出用“充分大”和“充分小”去代替无穷大和无穷小。他解释说:“我们可以不用无穷大、无穷小,而用充分大和充分小的量,使得误差小于给定的误差限度,所以我们和阿基米德方式的不同之处仅仅在于表达方面,而我们的表达更为直接,更适合于发明家的艺术。”([8],p.401)为了更好地说明这一点,他不得不诉诸于感性的直观——物理或几何模型,用现实事物中量的不同层次的相对性解释无穷大和无穷小。所以有人说,莱布尼茨其实是半个理性主义,因为他在理性困厄之时,不得不借助经验。([9],p.130)例如,他认为点同直线不能相比,所以点加到直线上从直线上去掉等于不加也不减。于是,“当我们谈到有不同阶的无穷大与无穷小时,就象对恒星的距离而言,把太阳看成一个点;对地球半径而言,把普通的球看做一个点。这样,恒星的距离对于普通球的半径而言是无穷的无穷大,或无穷倍的无穷大。”[10]而“如果你不承认无限长、无限短线段具有形而上学的严密性,也不承认它们是实在的东西,那么你一定可以把它们当作一种能够缩短论证的思想的东西来使用,正如在普通分析中使用虚根一样,……老实说,我不十分相信除了把无限大、无限小看作理想的东西,看作有根据的假设,还有什么必要去考察他们,”甚至“我不相信确有无限大量和无限小量存在,它们只是虚构,但是对于缩短论证和在一般叙述中是有用的虚构。”[(10)]可见,莱布尼茨主要是把微积分当作了求得正确结果的一种方法,只要按这个方法去做,就能得出正确的结果,而不必关心基本概念怎样。事实上,莱布尼茨对于微积分基础的这种看似冒失的大胆相信态度,反倒可能促进了微积分及其应用的迅速发展。([11],p.359)

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