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数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分
[摘 要] 刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式. 很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意. 刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设. 通过这些相关知识的历史考察,试图以HPM 的方法来辅助解决极限概念教学的难题. 
  
[关键词] 刘徽;割圆术;无限;可积 
  
《高等数学》[ 1 ] 在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义. 实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想. 另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率(157÷50). 郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明. [2 ] 
1  刘徽的“割圆术” 
我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”. 魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263 年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记———“割圆术”. 
“⋯⋯割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣! 觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表. 若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. ”[3 ] 
2  几点注记 
在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想. 第二个是无穷小分割思想. 
2.1  数列极限的夹逼准则 
刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(Squeeze Theorem) . 他从圆内接正6 边形开始割圆,设圆面积为S0 ,半径为r ,圆内接正n 边形边长为l n ,周长为L n ,面积为S n ,将边数加倍后,得到圆内接正2 n 边形的边长、周长、面积分别记为: l2 n 、L2 n 、S2 n . 
刘徽用“勾股术”得[4 ] : 
若知L n ,则可求出圆内接正2 n 边形的面积:  
刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”: 
S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) , 
“若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. ” 
limn →∞S2 n < S0 < limn →∞( S n + 2 ( S2 n - S n ) ) = limn →∞( S2 n + ( S2 n - S n )). 
即在n 趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积. 
2.2  折中的无限分割方法 
关于量可分的两种假定,在中国古代对应着两个命题.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的“尺棰命题”中隐含着一个量无限可分(潜无限) 的假定. 而“非半弗斫,说在端”的“非半弗斫”命题则认为一个量是有非常多的极微小的不可分部分组成的. 
与西方的数学家不同,中国古代的数学家从未受到无限问题的困扰. 刘徽在遇到无理数时采用“开方不尽求微数⋯⋯”. 显然,尽管刘徽对“开方不尽”的理解比前人深刻,但中国古代数学重视实际的传统的确是限制了对理论问题作更深层次的探讨. 因而,这也阻碍了无理数的发现. 刘徽认为只须得到无限接近的一个值就可以;因此他只关心重要计算方法,而根本不用考虑这个无限问题本身的性质. 对于割圆术,刘徽显然受墨家思想的影响很深,而且刘徽对割圆术的处理也比较符合中国古代数学讲求直观的传统. 
另外,从墨家的传统来看刘徽的处理也较好理解,实际上刘徽在无限的运用上,其思想和墨、道两家一脉相承[5 ] . 刘徽将道、墨两家的无限思想辩证地统一起来, 即无须由于受到无限的困扰. 刘徽道“⋯⋯割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣⋯⋯”. 同样,刘徽在“阳马术”(四棱锥体积) 中说道:“半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取余哉?”[6 ] 这里刘徽对待无限的态度是作一个可操作的程序“割之”(或阳马术中的“半之”) 的动作. 同时这个动作又可无限地做下去,那么在极限过程下正多边形的周长即为圆的周长. 这种辩证的极限思想使有关“量的可分性”假定都得到了解释,从某种意义上来说刘徽的极限思想与现代的微积分思想一致. 
2.3  不可分量可积的思想 
刘徽受《墨经》的影响认为“不可分量可积”,除无限分割外,刘徽还利用不可分量可积的思想处理问题. 在他的观念里,线可以看成是由一系列点组成的,面可以看成是由一系列线组成的,体可以看成是由一系列面组成的. 这样刘徽在处理无限问题而作积分时就有了思想依据. 他在“割圆术”中通过对无限分割的独特理解,和夹逼准则的使用,认为极限状态下考虑与圆合体的正无穷多边形,它们是由以圆心为顶点,以每边为底的无穷多个小等腰三角形,此小等腰三角形是不可分量.此时,设圆周长为L ,每个小等腰三角形的底边长为l ,面积为A . 刘徽以“不可分量可积”为前提容 
易得到所有等腰三角形的底边可积为圆的周长L : Σl = L . 于是, Σrl = r Σln = L r = Σ2A 
= 2 ΣA = 2 S0 ,“故以半周乘半径而为圆幂”:S0 =1/2L r. 
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