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数学论文—费马点

而费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。

今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种情况:

①当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,则费马点就是这个内角的顶点。

下面来验证这个结论: 对三角形内任意一点P,延长BA至C#39;使得AC=AC#39;,做∠C#39;AP#39;=∠CAP,并且使得AP#39;=AP, PC#39;=PC,即把三角形APC以A为中心做旋转变换(如图)。


则△APC≌△AP#39;C#39;(旋转的不变性)

∵∠BAC≥120°(已知)   

∴∠PAP#39;=180°-∠BAP-∠C#39;AP#39;(平角的意义)=180°-∠BAP-∠CAP(等量代换)=180°-∠BAC≤60°

∴等腰三角形PAP#39;中(已知AP#39;=AP),AP≥PP#39;(∠PAP’<∠AP P#39;)

∴PA+PB+PC≥PP#39;+PB+ P#39;C#39;>BC#39;(两边之和大于第三边)=AB+AC(已知AC=AC#39;)

所以A是费马点。即之前的结论。

下面探讨第二种情况:

②如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

做△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点(如图),再作一点P#39;,不与点P重合,连结P#39;A,P#39;B,P#39;C,过P#39;作P#39;H垂直EF于H。

 

∵∠APB=120°,∴∠PAB+∠PBA=180°-120°=60°

且∠PAF=∠PBF=90°,∴∠F=180°-(90°+90°-60°)

同理可得:∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,设边长为d,面积为S。

则S= 1/2 d (PA+PB+PC)

∵P#39;H ≤ P#39;A

∴ 1/2×d×P#39;H×2S ≤1/2 ×d ×P#39;A×2S

又∵1/2×d×P#39;H=△EP#39;F  ∴ 2S△EP#39;F≤ d ×P#39;A×S

同理有:2S△DP#39;F≤d ×P#39;B×S , 2S△EP#39;D≤d ×P#39;C×S

相加,得:2S(△EP#39;F+△DP#39;F+△EP#39;D)≤ d ×S (P#39;A+P#39;B+P#39;C)

又∵△EP#39;F+△DP#39;F+△EP#39;D=△EDF

2S×S ≤ d ×S (P#39;A+P#39;B+P#39;C) 两边同除以S,得:2S ≤ d  (P#39;A+P#39;B+P#39;C)

把S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得:

PA+PB+PC≤P#39;A+P#39;B+P#39;C,当且仅当P,P#39;重合时取到等号。
所以P是费马点,即与上述结论相符合。

经过上述的推导,我们即得出了三角形中费马点的找法:

当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

初二㈢班   林贤昊

费马(Pierre de Fermat,1601—1665)是法国数学家、物理学家。费马一生从未受过专门的数学教育,数学研究也不过是业余之爱好。然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一;概率论的主要创始人;以及独承17世纪数论天地的人。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。

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