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函数连续性在几何上的表示方法研究

摘要:根据本人在数学分析函数的连续性这块上所遇到的几个问题,在此写这篇论文让还未理解函数连续性及一致连续性的同学进行更好的理解.本文讨论连续函数,一致连续函数及介值定理,零点定理等几个定理在几何上的表示方法,与代数定理相结合.力求更好的理解这些定义.

   关键词:连续函数;一致连续函数;矩形框;曲线.

   引言:函数的连续性与一致连续代数方法补容易让他人理解的很清晰,将代数方法与几何图像联系起来描绘一个定义能让人对于这个定义有更深的理解,此文主要论述函数连续上的几个重要概念在几何上的表示形状,以致于让读者更好的理解函数的连续,一致连续等多个理论.

   正文:

   函数连续性的概念:

   函数在一点的连续性,值得注意的是函数的连续性是对一点进行定义的,引《数学分析》第四版上册中的定义1:设函数f在某U(Xo)在有定义.若当X→Xo时lim f(Xo)=f(Xo),则称f在点Xo连续.该定义指出如果f(X)中X趋于Xo时的极限等于f(Xo)则函数连续.在几何表示中,则可以认为X所对应的f(X)在Xo处是与U(Xo)对应的f是相接的,不是断点的.在此我们可以发现:1.函数在Xo处连续与函数在Xo处的极限有密切关系,f在点Xo有极限是f在Xo处连续的必要条件,从几何图示上可以清楚看到函数在X趋于Xo无极限,则f(Xo)与函数在X趋于Xo的值不可能相交,因此不可能连续.2.函数在Xo处连续的第二个条件是函数在X趋于Xo对应的左右f(X)极限必须相等,在几何上反应的是过(Xo,f(Xo))是一条连续的曲线,至于是怎么一个形状的曲线,只要无中间断点即可.

   间断点及其分类:

   有了函数f在某对应Xo处的定义则不满足连续定义的点都可以算是间断的,称为间断点或者不连续点.主意此处的间断点可以分为两种1.可去间断点2.跳跃间断点.具体定义可以参照《数学分析》第四版上册P73.在此我要谈谈的是几何表示:1.可去间断点在几何中表示为两种形式①Xo这个点在f上无定义,因此无实际图像,而当X→Xo时的lim f(X)=A,几何表示为一条曲线上擦去了某一个点②Xo对应在f上有定义,但f(Xo)与当X→Xo时的lim f(X)不相等,在几何上可以表示成一条曲线上的某一点上下平移到另一位置.总之可去间断点要求的是一条曲线上某一点的变化.2.跳跃间断点,跳跃间断点表示的则是一条曲线在某一处剪短,把其中的半条曲线上下平移,图像上直观观测为阶梯状.

   连续函数的性质:

   连续函数的性质可分为局部性质,闭区间上的连续函数的基本性质,反函数的连续性和一致连续性等几个方面.其中我在谈谈的是闭区间上连续函数的基本性质与一致连续性的意义和几何表示.

  首先说闭区间上连续函数的基本性质,f为闭区间[a,b]上的连续函数,则f在此闭区间上有最大值与最小值,则f在闭区间[a,b]上存在上确界与下确界.因此在几何表示上,这条f图像可以用一个矩形框框起来,矩形框的上下边则是上下界.利用这个方法可以清晰的理解为什么f在闭区间上连续就有最大最小值了.

  其次要说说介值性定理, 参照《数学分析》第四版上册P79中的4.7:设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b).若ч为介于f(a)与f(b)之间的任何实数,则至少存在一点Xo属于(a,b)使得f(Xo)=ч,对于这个定理可以扩大为f max与f min之间的任何数ч都可以找到一点Xo属于(a,b) 使得f(Xo)=ч,这便扩大了定义的使用范围.而介值定理在运用过程中大多演化为了他的推论(根的存在定理)也就是零点定理,用几何图示能清楚看到如果f(a)与f(b)异号,因为f为连续函数那么必定与X轴有交点,而交点则为零点.

  最重要的则是一致连续性,首先要明确的是一致连续性是对于区间来定义的,再参照《数学分析》www.zlunwen.com第四版上册P81定义2:设f为定义在区间I上的函数,若对于任意ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得对任何X,Y只要|X-Y|<δ,就有|f(X)-f(Y)|<ε,则称函数f在区间I上一致连续.定义指出了无论两点在I中处于什么位置,只要他们的距离小于δ,就可以使得|X-Y|<δ.在几何上,某区间上的一致连续函数必定可以用矩形框框起来. 一致连续与连续区别:

  函数连续与一致连续是有重大区别的,这两个概念的着眼点不同,连续性是局部性质,一般只对单点讨论,讨论改点在的左右极限问题,说函数在一个集合上连续也只不过是逐点连续。一致连续性是整体性质,要对定义域上的某个子集(比如区间)来讨论,函数一致连续说明函数是在某个规定区间内连续的。一致连续可以推出连续,反之不然。当区间有界时,一致连续函数几何图像此时在无界的一边不能无限倾斜.当区间有界时,若有一部分是开区间,如果可以确定这点对应的f存在极限,那么还是一致连续的.

  下面谈谈函数f在X属于(a,b)与X属于[a,b]的区别f在X属于(a,b)上连续不能推出f在[a,b]上连续,在几何表示中f在X属于(a,b)上连续可以画图为tanx的类似形状,此时不是在X属于(0,π/2)不是一致连续的,原因是f(π/2)的极限为无穷大.不符合一致连续的定义,此时也不能用一个矩形框来把整个图像框起来,而在X属于(0,π/3)上就是一致连续的了,因为此时的图像可以用一个矩形框框起来,也符合书本给与的定义.

   参考文献:

  [1]数学分析[J].华东师范大学数学系,2010年第四版上册.

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