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基于蒙特卡洛方法的高斯混合采样粒子滤波算法研究(2)
4.1  基于高斯混合近似的采样卡尔曼滤波器
    根据最优滤波理论,一个概率密度p(x)都可以写作高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)。即,这里,G是高斯分量的个数,是高斯分量的权重,是以向量为均值,以p(g)为协方差矩阵的随机向量x的高斯分布。
    考虑DSS状态转移方程和观测方程,假设先验概率及噪声密度服从高斯混合模型(GMM)。这样,预测的先验概率密度满足,更新后
这里,。在此基础之上,预测的先验概率和后验概率对应的均值和方差可以通过采样卡尔曼滤波器(Sigma Point KF)计算。
4.2  基于观测更新的重要性采样(Important Sampling)
    前已叙及重要性抽样是一种蒙特卡洛方法,即用一组带有权值的样本数据来表征随机变量的概率密度。利用DSS模型的一阶马尔柯夫本质和给定状态的观测值依赖性,可以推导递归的权值更新方程,这里仅对于给定的粒子而言。在GMSPPF算法中,用GMM近似来。作为建议分布。由于包含了最新的样本数据,使得粒子聚集在高似然区域,一定程度减少了粒子坍塌效应。另外,使用预测的先验概率平滑权值更新方程中的,这是因为GMSPPF算法用GMM表示后验概率,本次后验同时又是下一个时间步的先验概率,GMM模型中高斯核对后验概率做了平滑处理。基于观测更新步骤的重要性采样方法中对粒子不作任何假设,对非线性、非高斯问题具有很强的鲁棒性。
4.3 采用加权的EM算法做重采样和GMM还原
    基于观测更新步骤的重要性采样输出是一组加权的粒子,在标准的粒子滤波器中,这些粒子必须作重采样处理丢弃小权值粒子,同时对权值较大的粒子做放大处理。通过这种处理,可以有效的防止粒子集合的方差增加太快。不幸的是,重采样步骤只对当观测似然微弱、大量粒子聚集极少数粒子副本情况有效。在GMSPPF算法中,采用加权的期望最大(Weighted Expection Maximization)直接得到GMM模型,实现对加权粒子的最大似然拟合,这就相当于对粒子的后验概率做了平滑,避免了粒子坍塌问题,同时,GMM模型中的高斯核的个数减少到G,防止其呈指数级增长,降低了算法复杂度。
    为了比较算法的性能,系统状态估计的条件均值,均方误差(Error Convariane)可以通过两个方法计算,即在加权的EM算法平滑之前,用下面公式

求解,描述了系统的均值与均方误差性能。
5  算法性能分析与结论
    这里,给定系统状态估计问题的算法评估模型
              (12)
噪声,。另外,非平稳观测模型
               (13)
,其中,观测噪声服从高斯分布。如果给定含噪的系统状态观测值yk,采用两种不同的算法:标准的粒子滤波算法SIR-PF以及GMSPPF算法对系统的状态xk估计。每次实验共做150次,每次的观察样本重新产生,SIR-PF算法中粒子的个数是250个。GMSPPF算法中采用两种方案:第一种方案用5个高斯核拟合状态后验概率。状态噪声vk,观测噪声nk各用一个高斯核拟合。第二种方案则用3个高斯核拟合Gamma(3,2)分布的拖尾状态噪声,这里拟合方法采用EM算法。图3、图4描述了系统的隐状态和观测值及SIR-PF,GMSPPF算法系统状态的估计值。
图3  SIR-PF粒子滤波器状态估计
图4  GMSPPF粒子滤波器状态估计
    采用4.3部分的均方误差和均值计算公式对不同算法对系统状态估计性能作了比对。图3、图4曲线表明,在系统的观测噪声nk均方误差很小,而过程噪声服从具有长的拖尾 分布时,采用转移概率作为建议分布的标准粒子滤波器性能很差。这是因为观测方程中峰值似然函数和系统状态急剧的跳跃变化产生的结果。尽管可以通过采样卡尔曼(Sigma-Point)滤波器将粒子向似然峰值区域搬动解决这一问题,但是也使得计算量加大。GMSPPF算法两种不同方案都具有比SIR-PF更好的系统状态估计性能,均方误差比后者数量级降低了1/103-1/104。与1个高斯核拟合过程噪声的GMSPPF算法比较,3个高斯核拟合算法性能更好,但时间复杂度同样有所提高。
    由于GMSPPF算法在大幅度降低了算法的计算复杂度同时,可以获得精确的系统估计性能。所以说,GMSPPF算法为粒子滤波理论实时应用,如目标定位(单目标与多目标)、时变信道估计、图像增强、机器故障诊断以及语音信号处理等提供了一个新的方案。
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