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对数学文化特征及其形态的研究

摘要:“数学文化”即数学与人文的结合,是数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具、能力、活动、产品,在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀,是数学与人文的结合,是数学的对象化和对象的数学化。它与所有文化现象一样,直接支配着人们的行动。数学发展本身就是文化的发展,数学与文化不可剥裂。本文就其特征和形态进行一些粗略的探讨。
 关键词:数学文化;建构;浅论 

         一、数学文化  
         由于“数学文化”一词提出时间不长,人们对什么是“数学文化”,还没有形成统一的认识。一种认为狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展;广义的数学文化还包含数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系等。另一种认为“数学文化”,就是从文化角度去理解数学,数学是真、善、美的统一体,数学文化是人类传播思想的一种基本方式,具有相对的稳定性、真理性和连续性。第三种观点:数学文化,是数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具、能力、活动、产品,在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀,是数学与人文的结合。数学作为一种文化现象,历来受到人们的重视,但数学文化作为一种特殊的文化形态,直到20世纪下半叶,才由美国著名的数学史学家M·克莱因(M·Klein)在其三本著作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》和《数学——确定性的丧失》中进行了比较系统而深刻的阐述。在中国,较早使用“数学文化”一词的是1999年北大邓东皋、孙小礼等人编写的《数学与文化》,2003年中华人民共和国教育部制定的《普通高中数学课程标准》已大量使用“数学文化”一词。人们在学校学的数学知识,毕业后若没什么机会去用,很快就会忘掉,但不管从事什么工作,唯有数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等,始终深深铭刻在头脑中,随时随地发生作用。为此,笔者认为数学文化是数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具、能力、活动、产品,在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀,是数学与人文的结合,是数学的对象化和对象的数学化。一种文化既要有其相对稳定的形态,也要有“文化力”,把数学作为一种文化形态去认识,有利于数学的发展,在人类文明进程中更能贡献其“文化力”。文化是发展的,数学文化也必须是发展的,正如牛顿(I·Newton)、莱布尼兹(G·W·Leibniz)创立微积分时,由于缺乏严格的形式逻辑基础,使“无穷小量”的概念变得混乱而粗糙,后来建立了严格的极限理论和实数理论,才符合了形式逻辑原则,成为成熟的数学。这里面的思想、精神和方法,就含有丰富的数学文化。
         二、数学文化的特征
         (一)数学文化的民族特征
         每个民族都有自己的文化,也就一定有属于这个文化的数学。但受不同政治文明的影响,各自形成的数学又有不同。在古希腊,奴隶主之间讲民主,学术辩论气氛浓厚,往往预设一些 “公理”,再把要陈述的问题进行逻辑推理,以理服人,《几何原本》就是在这样的背景下产生的。与古希腊不同,受外来民族的侵略与融合,使几个世纪以来,古印度人都没有超越过用少数几个从外国抄袭来的,没有经过证明的公式来进行测量的原始形式,他们在数学上只想获得算术和代数方面的才能,数学对他们而言只是一种计算技巧,其研究数学的动力是试图制定一种标记季节循环的历书,最早的著作《已经确立的结论》(),就是关于天文学的。我国春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气,是知识分子自由表达见解的黄金年代,但由于实行君主统治制度,数学家和思想家们的主要任务是帮助君王统治臣民、管理国家、丈量田亩、兴修水利等,对数学的理性探讨退居其次。故从文化层面上看,中国的传统数学是一种“管理数学”、“实用数学”。而在人类文明进入信息化时代的今天,数学融入到世界数学文化之中已成必然,数学民族性和世界性的有机结合,同样是数学文化发展的必然。
         (二)数学文化的整体特征
         数学本身就是一种文化,是真善美的统一体。数学不等于逻辑,也不是一堆绝对真理的总集。数学文化关注文化功能和人文价值,对人的作用包含数学素养、科学素养和人文素养,其包括科学精神和人文精神的和谐统一。数学的内涵,以及用数学的观点去观察现实、通过构造数学模型解决实际问题,用数学的语言、图表、符号等表示数量关系和空间关系,进行数学交流,培养人的严谨素质和创造精神,欣赏数学之美等,都是数学文化的范畴。因而,数学文化具有整体特征。
         (三)数学文化的文明特征
         数学在人类文明的进程中,始终是一种主要的、深层次的文化力量。它不仅在科学推理中具有重要的价值,在科学研究中起作核心作用,而且在工程技术中也发挥着不可替代的作用。毕达哥拉斯(Pythagoras)学派通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理;欧几里得《几何原本》推动数学划时代发展;马尔萨斯(T.R.Malthus)的《人口论》接受了欧几里德的演绎模型,美国的《独立宣言》借助欧几里得的模型使人们对宣言的公证性与合理性深信不疑等等。充分说明数学与人类文明的联系是多方面、多层次的。数学文化引出了理性精神,而理性精神的指导,使得人类文明蓬勃发展。
         (四)数学文化具有艺术特征
         达芬奇(da Vinci)通过广泛而深入的研究解剖学、透视学、几何学、物理学和化学,在“最后的晚餐”的附图中给出了原画及它的数学结构图。毕达哥拉斯学派最早用数学来研究音乐,他们试图提出一个声调对比关系的数学公式:八度音与基本音调之比为1:2,五度音等于2:3,四度音等于3:4等等。数学家们能从数学中得到与绘画、音乐给予人的同样的乐趣,欣赏数学中数与形的精美和谐,演绎宇宙及自然的定律。数学推动绘画艺术发展,绘画艺术也给了数学以发展的启示,数学与艺术紧密相连。
         (五)数学文化具有哲学特征
         纵观哲学发展史,数学总是哲学问题的一个重要来源,为哲学的思考与发展提供着丰富的实践环境。“量变与质变”就是数学研究事物关系的一个非常重要的本质性问题。比如,一个平面与一个圆锥相截,其截口的几何图形的性质就会随平面与圆锥体截面的交角不同而变化,若交角是直角,则截面是圆,若交角稍变一点,则截面是椭圆,若再变下去,当变到一个关键点时,椭圆就变成抛物线了。再比如,要用哲学准确给出一个大家都能接受的必然性和偶然性定义是十分困难的,然而数学中的概率论,为我们科学认识必然与偶然现象提供了最佳工具。古希腊的许多大哲学家多数同时是大数学家,在他们眼里,数学与哲学是同宗同源的。一位哲人言:“没有数学,我们无法看穿哲学的深度,没有哲学,人们也无法看穿数学的深度,若没有两者,人们就什么也看不透。”足以说明数学和哲学的联系。
         (六)数学文化具有美学特征
         伽利略(G.Galileo)说“数学是书写宇宙的文字”,它反映着自然,数学中当然存在着美,著名数学家冯诺·伊曼(Von Neumann)曾写道:“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准,主要都是美学的”。数学是自然科学的语言,故具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点,即数学在其内容结构上、方法上也都具有自身的某种美,因而数学美是具体、形象、生动的。有人说数学是科学的皇后,数学美也如此,不仅数学家、物理学家追求数学美,连天文学家、工程师也醉心于数学美。数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容。
         (七)数学文化具有创新特征
         数学的创新特点主要有两个方面:一是原创性,即发明和发现,二是继承性,即创造性地去完善。原创性是指数学文化在其形成过程中的一些原理和内容,不是由其它学科延伸发展过来的,而是由人们在生产实践中直接发明和发现的。继承性创新与原创性同样重要,如20世纪中叶的扎德(L.A.Zadeh)创立了模糊集合论,这是一项原创性的工作,随后,人们又在此基础上建立了模糊测度、模糊拓朴等,尽管这些工作是继承性的,但它对推动学科发展的作用是毋庸置疑的。数学发展的实践证明:在数学学科里,每一代人都可能在前人的旧建筑上增添起新的楼层。创新是数学文化发展的强大活力。
         三、数学文化的基本形态
         (一)数学的文学形态
         文学中蕴藏着大量的数学信息,文学有时也可诠释深奥的数学内涵,为我们揭示数学美的存在提供了平台。用文学诗词来理解数学概念的例子就很多,如数学概念“对称”就可用“明月松间照,清泉石上流”来理解;“极限”对应“ 孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流”;“坐标系”对应“ 前不见古人,后不见来者,念天地之悠悠,独怆然而悌下”;“ 仰角、俯角”对应“ 举头望明月,低头思故乡”等等。再如“应用题”: 明代数学家吴敬编著的《九章算法比类大全》中有一题:“远望巍巍塔七层,红光点点二倍增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”此题的解答:设顶层灯的盏数x,则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381,解得:x=3;又如“李白街上走,提壶去打酒;遇店加一倍,见花喝一斗;三遇店和花,喝光壶中酒;试问酒壶中,原有多少酒?”设原来壶中有酒斗,则,解得。解数学题必需经历的几个环节和情境,同样蕴含着大量的文学信息:初见题目时,正如“不识庐山真面目,只缘身在此山中。”阅读题目,寻找解决问题的突破口,好像“射人先射马,擒贼先擒王。”苦思冥想,有了点眉目,可还是理不清思路,犹如“千呼万唤始出来,犹抱琵琶半遮面。”解题陷入困境,深入思考后得出新的思路,可见“山重水复疑无路,柳暗花明又一春。”对一个数学题想了许多方法都未能解决,不经意时,偶得一法,就像“踏破铁鞋无觅处,得来全不费工夫。”或“有心栽花花不开,无心插柳柳成荫。”经过反复思考,问题终于获解,心情舒畅,则有“两岸猿声啼不住,轻舟已过万重山”的感觉。数学与文学作为文化是可以和谐共生的。
         (二)数学的艺术形态
         数学在一定程度上可以看成一门艺术,一门创造性的艺术。数学在艺术领域的应用是多方面的,数学打开了通向一个广阔知识领域的大门,而艺术家则用它建造了一个富有视觉美感的大花园。荷兰著名艺术家艾舍尔(M. C. Escher)的作品就是把数学与艺术完美结合的典范之一:他的木刻画《四种正多面体》(如图①),将四种正多面体画在一起,使其对称轴为同一直线,且四种图形均是半透明的,每一个图形都可以从别的图形中看出来。又如他的木雕版画《星星》(图②),画中有相交立体,有正八面体、四面体和正方体等。并在多面体中画了变色龙,打破了人们通常的舒适的感性习惯,促使人们以新的眼光看待他作品中的事物。数学家们之所以推崇艾舍尔作品,就因为所有数学发现的背后正有着这样一种感性的新颖性。再如艺术家丢勒(A.Durer),其作品总是把数学与艺术结合起来,他的铜版画《犹豫》(图③)除了中心透视的应用外,墙上的幻方、复杂的多面体、球体,都象征着对于数学难题的长期思索无获而产生的犹豫情感。图③的上半部分可拆成图④,可发现《犹豫》中的多面


        
        体的表面似乎由两个等边三角形和六个不规则的多边形构成。而幻方图⑤却具有如下性质:
 每行、每列与每条对角线上的数字
之和为34;(B)关于两对角线交点对称的
任意两数的和为17;(C)每一象限(I、
II、III、IV)的数字之和为34;(D)I、
III象限的上行数字之和相等,且等于II、
IV象限的下行数字之和;I、III象限下行
数字之和相等,且等于II、IV象限的上行数
字之和;(E)I、III象限的右列数字之和相


等,且等于II、IV象限的左列数字之和;I、III象限左列数字之和相等,且等于II、IV象限的右列数字之和。
         若干世纪以来,数学和音乐一直有着密切的联系。中世纪时期,教育课程中就包含了算术、几何、天文和音乐。毕达哥拉斯学派是最先用比例将音乐与数学联系起来的。他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关,从而发现了和声与整数的关系。今天我们知道,从产生音符C的弦开始,C的长度给出B,C的长度给出A,C的长度给出G,C的长度给出F,C的长度给出E,C的长度给出D,C的长度给出低音C。
         在乐器方面,许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关,比如指数函数的图象就是许多乐器的原形。指数函数的一个特例:,其坐标图与乐器的联系如图⑥。许多弦乐器和空气柱发声的管乐器,其结构都反映出一条指数曲线的形状。
 再看一下乐器之王
钢琴的键盘,如图⑦:
在钢琴的键盘上,从一
个 C 键到下一个 C 


键就是音乐中的一个八度音程。
        其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑键 ,而 5 个黑键分成 2 组 ,一组有 2 个黑键 ,一组有 3 个黑键,即排成一列数2、3、5、8、13。这恰好就是著名的斐波那契(Fibonacci)数列中的前几个数。19世纪数学家约翰·傅里叶(J.B.J.Fourier)证明了所有
        乐声(器乐和声乐)都可用数学式来描述,这些数学式是简单的周期正弦函数的和,且声音的三个性质(音高、音量和音质)可以在图形上清楚地表示出来。音高与曲线的频率有关,音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关。
         艺术与数学似乎天生就是一孪生兄妹,数学描绘着艺术的规律,艺术展现着数学的灵性。日本京都立贺茂中学的数学教师长谷川干将的数字转换成音符,利用计算机对音符节拍长短、曲调抑扬进行加工后,的前113位数字竟能组成一支优美乐曲。由此而知,音乐中出现数学、数学中存在音乐并不是一种偶然,而是数学和音乐融和贯通于一体的一种体现。
 

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