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变化率思想:高中开设微积分课程的价值

摘要:高中开设微积分课程具有多方面价值需要,变化率思想是高中微积分课程价值的核心。高中新课程中的微积分设计实现了微积分课程价值的回归,这在边际成本等知识的教学实践中得到显著的反应。实现微积分课程价值的回归,需要教师课程观的转变和知识结构的完善。

关键词:变化率思想;微积分;价值

教育是为了使人获得理性的自主能力,“使人更自由,更有创造力。”[1](177)为此,学校教育过程中的课程知识要突出其核心价值。从一般意义上讲,“知识的价值在于作为思考的焦点激发各种水平的理解,而不是作为固定的信息让人们接受。”[1](177)课程内容尤其是作为以思想材料为主要研究对象的数学知识,更应如此。《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)[2]比过去的高中数学教学大纲,在微积分的课程设计方面发生了重大变革,逾越了形式化极限概念的学习。在对这一重要变化的实验研究过程中我们发现,《标准》中的微积分课程设计有利于促进学生自主探究、反思,关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握,使传统微积分课程中缺失的价值得以回归。实验是在山东省聊城某高中进行的。我们让尚未学习微积分的A班级(63人)和已经按传统课程学习了微积分的B班级(59人)都分别按《标准》讲授“导数及其应用”,进行课堂观察,然后在学生中分别进行问卷调查,对授课教师及其他有讲授微积分经历的教师进行访谈。调查问卷分A、B两种,A班用A卷,B班用B卷;B卷相对A卷更侧重于对新旧两种微积分课程设计的比较。在实验中,发出问卷122分,收回122份,且全部有效;被访谈的10名教师,也都根据访谈提纲阐述了自己的观点。

一、开设微积分课程具有多层面的价值需求

“紧接着函数概念的采用,产生了微积分,它是继Euclid几何之后,全部数学中的一个最大的创造。”[3]早在18世纪中叶,许多数学家就认为,“自然科学上的任何问题,只要做到从数学上来理解,也就是说,找到它的正确的数学描述,就可以借助于解析几何学与微积分学而获得解决。”[4]时至今日,不仅自然科学如此,就是人文社会科学的许多问题尤其是经济学、管理学方面的许多问题也是如此。对学生学习微积分的思想和方法,掌握解决变量问题的基本工具,并为高中生将来进一步学习数学和其他科学奠定基础,是人们基本认同的高中开设微积分课程的核心价值所在。实验中,我们还发现了高中开设微积分课程的另一重要价值,即大众文化的需求。524%的学生在问卷中反映,他们在学习微积分以前就已经对微积分有所耳闻或简单了解,具体途径有:报刊,数学、物理等学科的老师介绍,他人的言谈,网络,等等。从而这些学生对微积分有一种潜在的好奇心,有学习微积分的心理趋向。他们希望通过学习数学亲自感受微积分是什么、有何用,有的甚至想了解到底是什么驱使数学家创立了微积分。据被访教师反映,过去当教师(出于高考原因)宣布高中阶段不再讲授积分时许多学生深表遗憾。事实上,微积分的确具有很高的知名度,甚至可以说是最著名的现代数学名词。我们在保安、电梯工、理发师等社会人群中做了随机调查:“你听说过微积分吗?”“你知道它属于哪门学科吗?”结果读过高中者(包括“文革”期间的高中生)全部知道微积分这一名词,并且知道微积分属于数学学科。大约近50%没有上过高中的人表示听说过微积分这一名词,认为微积分应属于数学或物理。

另外,微积分的数学文化含量是非常厚重的,也是《标准》所强调的。学生反映,他们通过学习微积分进一步懂得了数学发展与社会发展之间的密切关系,看到了数学的广泛应用性,更深刻地感受到了牛顿和莱布尼茨等人的历史贡献和科学精神。授课教师专门强调到,他们二人的贡献就是面对前人的浩翰工作,敏锐地从纷乱的猜测、不成熟描述中,抽取出合理的、有价值的“碎片”,再靠自己的勇气和想象力把这些“碎片”拼接成美丽的数学体系。当然,这些工作都是建立在知识积淀和独立思想基础上的,有关牛顿学习和研究的众多感人的故事就是很好的诠释。

二、高中微积分课程的核心价值是变化率思想

高中微积分课程教育价值的核心体现在哪里?怎样设计?传统高中微积分课程设计的链条是:“数列—数列极限—函数极限—函数连续—导数—微分—导数的应用—不定积分—定积分”。这种设计的逻辑结构非常严密,实际上是高等数学微积分课程设计的“缩编”或者简单的下放。这种设计能反映高中开设微积分课程的核心价值吗?《普通高中课程改革方案(实验)》指出:“普通高中教育是在九年义务教育基础上进一步提高国民素质、面向大众的基础教育。”鉴于此,《标准》明确强调高中数学课程要“强调本质,注意适度形式化”,“注重提高学生的数学思维能力”,“发展学生的数学应用意识”。所以,作为“下放”的内容,高中微积分课程更要注重知识发生、发展的过程。导数是微积分的核心概念,理解导数概念的实质、把握导数概念的生成所反映的思想和方法,是学习微积分的重中之重,从导数概念的发生、发展来看,变化率则是导数思想方法的核心,亦即中学开设微积分课程价值的核心。事实上在实验教学中,变化率的教学成为激发学生思维、建立导数概念的“焦点”。

“变化率”是抽象概念,属策略性知识范畴。根据《标准》设计要求,导数概念的学习主要是靠学生在已有的平均变化率知识基础上的建构。在实验中,86%的B班学生反映,过去学习导数的主要任务是“套公式,做题”,其中求导数题目、考察函数性质题目是主体;对于导数概念的理解却仅限于对定义的“死记硬背”,即使记不住、不理解也无所谓,因为高考一般只考根据公式求具体函数的导数。结果,B班仍有13.5%的学生把导数理解为“某个区间上的平均变化率”;37.2%的学生认为导数“太抽象,不易理解”。在访谈时,教师也坦言过去讲导数重在计算和推理。因此,在微积分教学时课堂气氛比较沉默,学生主动探究较少。

然而,实验告诉我们,“正如牛顿所做的那样,理解导数之本质的最好方法是考虑速度。”[5](125)按《标准》围绕速度进行导数教学,学生迎头就是思维冲突,不自觉地便进入了探究过程。

首先,学生已经从物理学得知自由落体是匀加速运动,其位移是s(t)=,瞬时速度为:v(t)=gt,那么物体下落2秒时的瞬时速度为2g。换个角度从平均速度进行逼进也可获得此结论。教师让学生观察不同时间间隔上的平均速度:[1,2]上的平均速度是,依此类推,[,2]上的平均速度是,[,2]上的平均速度是[,2]上的速度是,…,[2-,2]上的平均速度是2-g。显然,当时间间隔越来越小时,平均速度也就越来越接近2秒时的瞬时速度──2g。

在实验中对这一过程A、B班学生都比较容易接受。但是,一般的非匀速运动是不会这么有规律的,那么它的瞬时速度怎么求出呢?

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